Download e-book for kindle: Algebraische und zahlentheoretische Grundlagen für die by Kurt-Ulrich Witt

By Kurt-Ulrich Witt

ISBN-10: 3658040742

ISBN-13: 9783658040741

ISBN-10: 3658040750

ISBN-13: 9783658040758

Informatikerinnen und Informatiker aller Fachrichtungen müssen die grundlegenden Konzepte, Methoden und Verfahren, die der Entwicklung und dem Einsatz von Informations- und Kommunikationstechnologien zugrunde liegen, verstehen und bei der Lösung von Problemen anwenden können. Das Buch stellt die algebraischen und zahlentheoretischen Grundlagen dafür vor und wendet diese bei der Lösung praktischer Problemstellungen, wie modulare Arithmetik, Primzahltests und Verschlüsselung an. Das Verständnis der Begriffe und deren Zusammenhänge und Zusammenwirken wird u.a. durch Lernziele, integrierte Übungsaufgaben mit Musterlösungen und Marginalien unterstützt. Das Buch ist zum Selbststudium intestine geeignet.

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8 Sei G = (M, ∗) eine endliche Gruppe. a) Sei a ∈ G, dann ist ordG (a)|ordG . b) Sei a ∈ G, dann ist a ord G = e. c) Ist G zyklisch und g ∈ G ein Generator von G, dann gilt g = e genau dann, wenn ordG |n gilt. 8 (4) folgt ord G a |ordG , also gilt auch ordG (a)|ordG . 2 b). 2 b). 6 Gruppenhomomorphismen ¨ Wir haben in den bisherigen Beispielen und Ubungen eine Reihe von Gruppen betrachtet, welche dieselbe Anzahl von Elementen und verschiedene Verkn¨upfungen haben. Es stellt sich die Frage, ob diese Gruppen tats¨achlich verschieden sind oder ob in ihnen nicht dasselbe berechnet wird, nur mit anderen Elementen und verschiedenen Bezeichnungen f¨ur die Verkn¨upfungen.

1 ganze Zahlen qa und ra bzw. 27) folgt (p, ra ) = 1 bzw. (p, rb ) = 1. 28) Nach Voraussetzung ist p ein Teiler von ab. 2 h), dass p|ra rb sein muss. Da (p, ra ) = 1 und (p, rb ) = 1 ist, folgt mit a), dass p|ra und p|rb . 26) bzw. 27). 28) folgt, dass p auch kein Teiler von ab sein kann, was aber ein Widerspruch zur Voraussetzung des Satzes ist. Unsere Annahme p |a und p |b ist also falsch, womit die Behauptung bewiesen ist. 16 Es sei a, b, c ∈ Z sowie (a, c) = 1 und (b, c) = 1. Dann gilt auch (ab, c) = 1.

C) folgt unmitelbar aus b). ✷ Kleinstes gemeinsames Vielfaches 28 Kleinstes gemeinsames Vielfaches Mithilfe der kanonischen Primfaktorzerlegung von zwei Zahlen lassen sich auch deren gr¨oßter gemeinsamer Teiler sowie deren kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnen. 15! 18 c) festgestellt. 15 k¨onnen weitere Eigenschaften des gr¨oßten gemeinsamen Teilers von zwei Zahlen abgeleitet werden. 19 Sei a, b ∈ N, a, b ≥ 2 sowie q ∈ N. Dann gilt: a) Ist q|a und q|b, dann ist (a, b) = q · b) Ist q|a und q | b, dann ist (a, b) = a b , q q a ,b q .

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by Mark
4.3

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